Théorie des jeux

La théorie des jeux forme une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu'on en trouve en recherche opérationnelle et en économie.



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  • Les ingrédients de base d'un jeu sont implicitement donnés par le nom " théorie des jeux " : il y a des joueurs (acteurs), des rétributions (gains et pertes)... (source : tecfa.unige)
Le dilemme du prisonnier est une célèbre illustration en principe des jeux d'un jeu à somme non nulle.

La théorie des jeux forme une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu'on en trouve en recherche opérationnelle et en économie. Elle étudie les situations où les choix de deux protagonistes — ou davantage — ont des conséquences pour l'un comme pour l'autre. Le jeu peut être à somme nulle (ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre, et réciproquement) ou, plus fréquemment, à somme non-nulle. Un exemple de jeu à somme nulle est celui de la mourre, ou celui du pierre-feuille-ciseaux.

Historique

Trois grandes étapes

Détails

La théorie des jeux a fait l'objet de résultats assez anciens, à partir des travaux de Blaise Pascal sur le «problème des partis», donnant une première intuition des probabilités et de l'espérance mathématique, et de son surprenant pari. Elle n'est devenue une branche importante des mathématiques qu'à partir des années 1940. En particulier après la publication de la Théorie des jeux et du comportement économique (Theory of Games and Economic Behavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern, en 1944. Cet ouvrage fondateur détaillait la méthode de résolution des jeux à somme nulle.

Lors de sa présentation, la théorie rencontra une vive opposition de la part des états-majors. Ceux-ci acceptaient volontiers l'usage de tirages au hasard dans les jeux de Kriegspiel des écoles militaires. Mais l'idée de remettre au sort, le fait d'escorter réellement ou non tel ou tel convoi, au nom des stratégies mixtes, ne les enthousiasmait guère. Issus du terrain et sachant ce qu'étaient des pertes humaines, ils jugeaient le procédé, pour le moins, cavalier.

Vers 1950, John Nash a présenté une définition d'une stratégie optimale, pour un jeu à plusieurs joueurs, dite équilibre de Nash. Ce résultat tardif[1] génial a été raffiné par Reinhard Selten ; cela leur a valu le «prix Nobel d'économie» en 1994, pour leurs travaux sur la théorie des jeux, avec John Harsanyi qui avait travaillé sur les jeux en information incomplète.

L'association entre jeu et nombres surréels de Conway a été établie dans les années 1970.

Grandes lignes

La théorie des jeux étudie les comportements — prévus, réels, ou tels que justifiés a posteriori — d'individus face à des situations d'antagonisme, et cherche à mettre en évidence des stratégies optimales . Des situations apparemment particulièrement différentes peuvent quelquefois être représentées avec des structures d'incitation identiques, et constituant tout autant d'exemples d'un même jeu.

La théorie des jeux non coopératifs s'applique à des situations où des joueurs jouent sciemment tandis qu'ils ont des buts au moins partiellement antagonistes (elle ne s'applique par conséquent pas aux situations de pleine coopération, mais à la compétition ou à sa variante plus fréquente qu'on appelle la coopétition). Elle ne concerne pas les situations de jeu contre une nature dépourvue de buts, ne dressant pas de plans, situations où il y aurait par conséquent en fait qu'un seul joueur.

Types de jeux

La théorie des jeux classifie les jeux en catégories selon leurs approches de résolution. Les catégories les plus ordinaires sont :

Jeux coopératifs et compétitions

Les jeux coopératifs sont des jeux dans lesquels on cherche la meilleure situation pour les joueurs sur des critères tels que la justice, l'entraide. On considère qu'ensuite les joueurs vont jouer ce qui aura été choisi, c'est une approche normative. A titre d'exemple, à un croisement, chacun des deux automobilistes a la possibilité de passer ou non. Le code de la route impose sa stratégie à chacun des joueurs par une signalisation.

Dans les jeux coopératifs, on étudie la formation de coalitions entre les joueurs afin d'obtenir un meilleur résultat pour ses membres. C'est un concept qui n'existe pas dans les jeux non coopératifs. Le jeu non coopératif à n joueurs est une simple généralisation du jeu à deux joueurs. Par contre, dans un jeu coopératif à deux personnes, il n'y a qu'une seule coalition, et même avec quatre joueurs, il n'y aura qu'une seule coopération puisque le principe du jeu coopératif est que les joueurs s'associent pour lutter contre le jeu lui-même. Sinon, on parlera peut-être de jeu semi-coopératif compétitif, où les joueurs peuvent former des coopérations temporaires contre les autres. Un autre concept utilisé dans les jeux coopératifs est la fonction caractéristique. Soit v (C) la fonction qui donne la valeur maximin de la coalition C. Cette expression est nommée la fonction caractéristique du jeu. A titre d'exemple, si la coalition comprenant les joueurs 1 et 2 obtient un profit de 600, on écrit v (1, 2) = 600.

On peut décrire un jeu en indiquant les valeurs de la fonction caractéristique pour l'ensemble des coalitions envisageables, y compris celles ne comprenant qu'un seul joueur. On parle fréquemment du jeu v au lieu de dire un jeu ayant la fonction caractéristique v.

Dans un jeu à n personnes, il y a 2n − 1 coalitions non vides et tout autant de valeurs de la fonction caractéristique. Par définition, la valeur de la fonction caractéristique d'une coalition vide est égale à zéro.

Si des coalitions disjointes (C et Z) sont réunies en une grande coalition, on peut admettre que la valeur de la fonction caractéristique de cette grande coalition soit au moins égale à la somme des valeurs des deux coalitions :

 v(C \cup  Z) \ge v(C) + v(Z) \qquad (C \cap Z = \emptyset)

(propriété de superadditivité)

Soit N={1, 2, …, n} la totalité des joueurs et xi la somme ou l'utilité que le joueur i reçoit. Une imputation est un vecteur  x=(x_1,x_2,\ldots,x_n) qui indique ce que chaque joueur obtient dans le jeu. Prenons désormais deux imputations envisageables x et y de la coalition S. On dit que y est dominée par x si :

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a un noyau correspondant au point (0, 0, 120). Il suffit de modifier une fonction caractéristique (par exemple, v (1, 2) =120) pour obtenir un noyau vide.

Plusieurs autres solutions d'un jeu coopératif ont été proposées, entre autres la valeur de Shapley qui est une imputation unique.

Article détaillé : Jeu coopératif.

Théorie de la négociation

La théorie moderne de la négociation est articulée sur le fait qu'une négociation forme un jeu à somme non-nulle. L'art de la négociation consiste par conséquent moins à faire céder l'interlocuteur sur la ligne principale d'opposition (un prix, par exemple) qu'à trouver des arrangements extérieurs à cette ligne qui apporteront énormément à l'un sans coûter trop cher à l'autre (stratégies dites Gagnant-gagnant).

Depuis longtemps, tout cela était utilisé dans les négociations :

voire entre particuliers :

«Coopétition»

La coopétition est le partage d'information au sein d'un réseau socio-professionnel de concurrence. On parle aussi de compétition transparente. La coopétition peut s'appliquer tant à des services de recherche et développement des organisations (qui se livrent d'autre part une guerre féroce en matière commerciale), qu'au monde du développement des logiciels libres, qui fait appel au principes de fourches (un projet se scinde en deux en cas de passage de la coopération à la compétition), tout en laissant les deux codes logiciels produits en concurrence accessibles pour les deux groupes de développeurs. Par extension, la coopétition s'applique dans tout contexte de gestion de la complexité socio-professionnelle, car le principe de base est que l'information prend de la valeur quand elle est partagée, et que précisément, c'est en étant émetteur d'information stratégiques qu'on prend une position dominante dans un groupe de compétiteurs, face à divers clients potentiels.

Jeux de stratégie à somme nulle et non nulle

On pourrait croire qu'il suffirait pour ramener un jeu à somme non-nulle à un jeu à somme nulle d'y ajouter un joueur simplet, le «tableau», sorte de non-player character qui compenserait les pertes nettes des joueurs. Ce n'est pas le cas : un joueur est censé défendre rationnellement ses intérêts dans la mesure de ses possibilités; cet ajout formel, introduisant une dissymétrie entre les «vrais» joueurs et le «tableau», complique l'analyse et celle-ci y perd plus qu'elle n'y gagne.

Jeu synchrone ou asynchrone

Dans un jeu synchrone, les joueurs décident de leur coup simultanément, sans savoir ce que les autres jouent. Dans un jeu asynchrone (ou alternatif, à deux joueurs), ils jouent les uns après les autres, en disposant à chaque fois de l'information sur le coup de l'adversaire. Une analyse des stratégies gagnantes est proposée pour le hex, un jeu de cette nature.

Jeux répétés

La répétition d'un jeu, avec connaissance des résultats intermédiaires, change fréquemment principalement son déroulement (les meilleurs coups et la conclusion).

A titre d'exemple, il peut être utile de prendre ponctuellement le risque de perdre «pour voir», tester les autres joueurs, et mettre en place des stratégies de communication par les coups joués (à défaut d'autre moyen de communication).

Il se développe aussi des phénomènes de réputation qui vont influencer les choix stratégiques des autres joueurs. Dans le dilemme du prisonnier, le fait de savoir qu'on va jouer plusieurs fois avec un dur qui n'avoue jamais mais se venge cruellement, ou avec un lâche qui avoue toujours, change radicalement la stratégie optimale.

Enfin, curieusement, le fait que le nombre total de parties soit connu à l'avance ou non peut avoir des effet importants sur le résultat, l'ignorance du nombre de coups rapprochant du jeu avec un nombre illimité de coup, tandis que sa connaissance rapproche au contraire du jeu à un seul coup (et ce, aussi grand que soit le nombre de coups !)

Information complète, information idéale

On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision :

D'autre part on parle de jeu à information idéale dans le cas de jeu à mécanisme séquentiel, où chaque joueur a connaissance en détail de l'ensemble des actions effectuées avant son choix.

Les échecs sont à information complète et idéale. Du fait de l'incertitude sur les gains (cartes de l'adversaire cachées), le poker est à information incomplète. La phase d'enchères vérifie les propriétés d'information idéale, mais en assimilant le tirage des cartes à l'action d'un joueur fictif (fréquemment nommé Nature), la théorie des jeux exclut généralement le poker des jeux à information idéale.

Les situations réelles sont rarement en information complète, et ce cas ne sert fréquemment qu'aux approximations confiantes.

Les jeux en information incomplète sont des situations stratégiques où l'une des conditions n'est pas vérifiée. Ce peut être par l'intervention du hasard au cours du jeu (cas habituel dans les jeux de société), ou parce qu'une des motivations d'un acteur est cachée (domaine important pour l'application de la théorie des jeux à l'économie).

Les jeux en information à la fois imparfaite et incomplète sont de loin les plus complexes. Dans ces jeux certains joueurs peuvent disposer d'informations propres sur la manière dont le hasard va intervenir dans l'issue du jeu (une meilleure connaissance des probabilités d'occurrence de tel ou tel événement qui va affecter le cours du jeu, par exemple). Les jeux de guerre (war games) relèvent typiquement de cette catégorie, l'aléa sur la réussite d'un engagement entre corps de troupes dépendant d'informations non partagées par les adversaires sur les rapports de force entre ces troupes.

Pour être complet, il convient aussi de distinguer les jeux à mémoire idéale ainsi qu'à mémoire imparfaite. Les jeux à mémoire «parfaite» sont des situations où chaque joueur peut se rappeler à tout moment de la suite de coups qui ont été joués auparavant, au besoin en notant au fur et à mesure les coups joués. Les jeux à mémoire «imparfaite» supposent une sorte d'amnésie de la part des joueurs. Les jeux de guerre sont des exemples de jeux à mémoire imparfaite si les commandements de zones opérationnelles ne parviennent pas à communiquer entre eux ou avec l'État-Major et par conséquent n'ont pas trace des mouvements déjà effectués par les troupes amies quand elles doivent décider de leurs propres mouvements. Un jeu typique est le 21 ou blackjack : la convention selon laquelle la suite de paquets de cartes n'est pas battue entre deux jeux peut donner un léger avantage au joueur tant que ce dernier prend en compte cette information partielle.

Jeux déterminés

Les jeux de Nim forment un cas spécifique de jeu à somme nulle, sans intervention du hasard et dans la majorité des cas à nombre de situations finies. Dans leur cas spécifique, la théorie des graphes apporte un outil plus utile que la théorie des jeux à proprement parler. La notion de noyau du jeu (ensemble des nœuds depuis lesquels la victoire est assurée si on y parvient en cours de jeu et qu'on joue de façon optimale ensuite) y est caractérisée.

Représentations des jeux

Forme extensive

Dans l'ensemble des jeux, les décisions peuvent être représentées par un arbre, dont chaque nœud est associé au joueur qui décide. Chaque option forme une branche. Les gains de tous sont associés aux terminaisons ou feuilles de l'arbre. Un joueur n'a cependant pas besoin de savoir comment il est parvenu à un nœud : seul compte l'état présent du jeu, et les positions recherchées dans le futur. Quand certains mouvements ne sont autorisés qu'après un événement donné, cet événement n'est qu'un des éléments à matérialiser dans l'état présent du jeu et n'a pas besoin de faire partie d'un historique.

Une forme extensive de jeu est un arbre de décision décrivant les actions envisageables des joueurs à chaque étape du jeu, la séquence de tours de jeu des joueurs, mais aussi l'information dont ils disposent à chaque étape pour prendre leur décision. Cette information est représentée sous forme d'ensembles d'information qui forment une partition des nœuds de l'arbre, chaque classe de la partition contenant les nœuds non distinguables par le joueur à une étape du jeu. Si ces classes sont des singletons, c'est-à-dire que chacune est constituée d'un seul nœud de l'arbre du jeu, le jeu est dit à information idéale, ce qui veut dire que chaque joueur sait à tout moment où il se situe dans l'arbre du jeu. Dans le cas opposé, le jeu est dit à information imparfaite[2]. L'information imparfaite est représentée sous la forme d'un joueur non rationnel : la «Nature», joueur qui prend aléatoirement certaines décisions à telle ou telle étape du jeu, orientant la suite du jeu vers un certain sous-arbre de l'arbre du jeu.

Forme normale

Définition

Article principal : Jeu sous forme normale

Un jeu sous forme normale est la donnée de la totalité des joueurs, de la totalité des stratégies pour chaque joueur et des paiements associés à toute combinaison envisageable de stratégies.

Représentation tabulaire

Si le jeu ne comporte que deux joueurs et un nombre raisonnablement restreint de stratégies envisageables, on peut représenter le jeu sous la forme d'un tableau appelé matrice des gains.

Il s'agit d'un tableau à double-entrée qui énumère sur chaque côté les stratégies envisageables des joueurs respectifs. Dans la case à la croisée de deux stratégies, on note le couple de gains des deux joueurs. C'est ce qu'on appelle (par convention) la matrice des paiements.

Si le jeu est à somme nulle ainsi qu'à deux joueurs, alors on peut ne noter que les gains du premier joueur : ceux du second sont directement opposés. Le tableau de gains se ramène alors à une matrice.

On peut, avec un nombre réduit de stratégies, tenter de représenter avec une matrice un jeu à trois ou quatre joueurs, mais cela pose fréquemment plus de problèmes d'interprétation et de lecture que ça n'apporte de réponses.

Résolution d'un jeu à somme nulle

1\2 (A) (B) (C)
(a) 30 -10 20
(b) 10 20 -20

Les deux joueurs décident simultanément de leur stratégie.

Raisonnements intuitifs

Le joueur (1) a le choix entre (a) et (b). Il peut se dire : «La stratégie (b) peut me faire perdre 20, et au plus gagner 20. Par contre, avec la stratégie (a) je peux gagner jusqu'à 30, et au pire perdre 10.» Ce type de réflexion correspond aux stratégies «Maxi-Max» (maximiser le gain envisageable sans considération pour les pertes envisageables) et «Maxi-Min» (maximiser le pire résultat envisageable), qui en l'occurrence donne le même choix : l'option a.

De même, le joueur (2), touchant l'opposé des valeurs du tableau, qui réfléchirait de même verrait que Maxi-Min élimine (A) à cause de la perte maximum de 30, mais ne permet pas de trancher entre (B) et (C), où la perte maximum est de 20. Et que Maxi-Max classe les trois options par ordre croissant : A (meilleur résultat envisageable : -10) B (+10), C (+20). Cela le pousserait à choisir (C).

Le résultat serait alors a-C : le joueur (2) perd 20 au profit de (1).

Mais le joueur (2) peut aussi essayer d'anticiper le choix de (1). Il voit mais aussi si (1) joue le maximin, lui-même a intérêt à choisir (B), ce qui lui sert à gagner 10.

Et si à son tour le joueur 1 anticipe cette déviation et préfère faire (b) pour alors toucher 20 ? Alors (2) devrait à nouveau choisir (C)  : nous voilà revenu au point de départ !

La notion de stratégie et d'équilibre mixte

Aucune réponse ne s'impose. Comment s'en sortir ?

Une première réponse envisageable est de jouer au hasard, avec une probabilité égale pour l'ensemble des coups envisageables, sans se préoccuper des gains. Cela n'apparaît pas optimum, il y a sans doute mieux à faire.

Une seconde stratégie est de tenter d'attribuer a priori une probabilité aux actions de l'adversaire, et d'opter pour la meilleure réponse adaptée. Ainsi, si (2) attribue une probabilité 50/50 aux options de (1), il doit jouer aussi à 50/50 (B) et (C). Mais l'adversaire n'est pas un dé qui se comporte au hasard : lui aussi va anticiper. Si c'est (1) qui réfléchit, il voit quoiqu'il est absurde de supposer que (2) va jouer (A) dans un tiers des cas. Ici encore il y a sans doute mieux à faire.

Introduction de probabilités

John von Neumann est parvenu à sortir de cet imbroglio avec probabilités. Au lieu de décider résolument d'une action, chaque joueur va agir de façon probabiliste, chaque coup étant choisi par hasard avec un processus aléatoire (par exemple un jeu de dès, ou une table de valeurs aléatoires). Il est clair que l'adversaire ne peut pas deviner notre comportement si nous ne le connaissons pas d'avance nous-mêmes !

La solution que von Neumann apporte au problème forme le théorème du minimax.

Point-selle

Il est remarquable que ce choix stratégique reste le meilleur même si l'adversaire en a connaissance.

On est ainsi amené à introduire le concept intéressant, dans les stratégies mixtes, de point-selle : il s'agit du choix de probabilité optimal pour les deux joueurs : celui qui s'en écarte se pénalise du même coup (même si cette stratégie lui est défavorable, car les autres le seront toujours plus). Le thème avait été entrevu par Auguste Detœuf : Si vous n'avez qu'un risque sur mille d'être convaincu de mensonge, ne mentez pas plus d'une fois sur mille, car cette fois-là annulera à elle seule l'ensemble des autres où vous avez dit la vérité. Detœuf, industriel responsable, évite sciemment de préciser qu'il y aura quelquefois même avantage à mentir effectivement une fois sur mille plutôt que dire toujours la vérité.

Les stratégies mixtes sont empiriquement bien connues des diplomates et des joueurs de poker, qui savent les bénéfices potentiels obtenus en cachant leurs plans, même lorsqu'il y en a un qui semble évident. Cette idée frappera Philip K. Dick qui lui consacrera son roman Loterie solaire.

Applications

Les champs d'application de la Théorie des Jeux sont particulièrement variés par exemples :

Article détaillé : Théorie des jeux comme paradigme en science sociale.

Elle cherche les stratégies rationnelles dans des situations où les gains d'un acteur dépendent non seulement de son comportement et des conditions de marché, mais également de celui des autres intervenants, lesquels peuvent poursuivre des objectifs différents ou contradictoires. On lui trouve aussi des applications en sciences politiques.

Les résultats peuvent être appliqués à des divertissements (comme le jeu télévisé «Friend or Fœ» sur une chaîne câblée spécialisée aux États-Unis, Game Show Network ) ou à des considérations plus poignantes :

Le professeur Thomas Schelling et le professeur Robert Aumann, qui ont reçu conjointement le «prix Nobel d'économie» 2005, se sont spécialisés dans l'explication des diverses stratégies utilisées (à utiliser) dans les conflits internationaux, tels la guerre froide et la guerre nucléaire (dissuasion).

Albert W. Tucker a d'autre part diffusé de nombreuses interprétations du dilemme du prisonnier dans la vie courante. Des biologistes ont utilisé la théorie des jeux pour comprendre et prévoir les résultats de l'évolution, surtout la notion d'équilibre évolutivement stable introduit par John Maynard Smith dans son essais La théorie des jeux et l'évolution de la lutte (Game Theory and the Evolution of Fighting). Voir aussi son ouvrage Evolution and the Theory of Games.

Il est à remarquer qu'en théorie de l'évolution, l'adversaire principal d'un individu n'est pas vraiment la totalité de ses prédateurs, mais la totalité des autres individus de son espèce et des autres espèces apparentées. Comme le fait remarquer Richard Dawkins, un brontosaure n'a pas besoin, pour survivre, de courir plus vite que le tyrannosaure qui le poursuit (ce qui lui serait impossible), mais simplement plus vite que le plus lent de ses congénères. Des phénomènes identiques se produisent en économie. Tout cela rejoint des considérations psychologiques : la conflictualité est plus liée à la ressemblance qu'à la différence.

Les probabilités fournissent à la théorie des jeux un outil conceptuel. Les statistiques peuvent l'alimenter en données, et les techniques d'optimisation lui apporter des résultats de calcul.

Gains et aversion au risque

Dans l'exemple en stratégie mixte défini plus haut, les participants au jeu ont été reconnus comme neutres au risque. Cela veut dire qu'ils considèrent qu'avoir une chance sur deux d'obtenir 20 et une chance sur deux de ne rien avoir est équivalent à obtenir 10.

Cependant, la majorité des personnes sont averses au risque, et préfèrent les issues les plus sûres, n'acceptant un risque supplémentaire que contre une espérance de gain plus important.

Un exemple de cette aversion au risque peut être remarqué au cours de jeux télévisés. Si, par exemple, on propose aux candidats une chance sur trois d'avoir 50 000 €, ou bien à coup sûr 10 000 €, énormément préféreront le second choix. Le revenu supplémentaire espéré qui est exigé pour compenser l'aversion au risque est nommé, en finance, la prime de risque. La souscription de polices d'assurance (à l'endroit où ce n'est pas obligatoire) se justifie aussi par aversion au risque.

Il est par conséquent rationnel de construire une mesure de l'utilité subjective

D'une façon plus générale, l'utilité tient compte du fait que les grosses variations sont plus significatives que les petites (on achète volontiers un billet de loterie ou de Loto, dont le prix particulièrement faible correspond à une perte négligeable, alors que le gain serait significatif), et que la signification d'une variation décroît (il y a plus de différence d'utilité entre un gain de 1 000 et un gain de 1 001 000, qu'entre un gain de 1 001 000 et un gain de 2 001 000, même si la différence est de 1 million à chaque fois ; une chance sur cent de gagner un million est le plus souvent préférée à une chance sur mille de gagner 10 millions, malgré l'espérance égale).

Inversement, il peut exister un désir d'acheter du risque ou de la peur : qu'il s'agisse d'un billet de loterie ou d'un film d'épouvante, l'excitation correspondant à une valeur en elle-même.

Bref, le fait d'acheter un billet de loterie ou de Loto, ou de jouer dans un casino, est motivé par deux composantes :

Jeux de chiffres

John Conway a mis en place une notation pour certains jeux et défini des opérations sur ces jeux, dans l'espoir d'étudier le jeu de go. À partir d'associations étonnantes d'idées, il a isolé une sous-classe avec des propriétés numériques, et a abouti à définir la classe particulièrement générale des nombres surréels. Cela dit, en dépit de ces progrès annoncés, aucun programme informatique n'arrive à jouer aujourd'hui (2006) au go avec des performances de joueur international.

Notes et références

  1. Antoine-Augustin Cournot présentait des équilibres dans les jeux à deux joueurs (duopoles). mais ce résultat était inconnu de Nash.
  2. En fait le graphe du jeu peut-être vu comme n'étant plus un arbre, mais comme étant un Graphe acyclique orienté.
  3. Gouyon, P-H., Henry, J-P., Arnould, J. Les avatars du gène. Belin (Ed. ) 335p. ISBN 2-7011-2187-6

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie


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